Arvostelut

Haastavat laskentaongelmat ja ratkaisut

Haastavat laskentaongelmat ja ratkaisut


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Laskenta voi tuntua helppolta tehtävältä. Kun menemme syvemmälle kombinatorikkona tunnettuun matematiikan osaan, ymmärrämme, että törmäämme suuriin lukuihin. Koska factorial näkyy niin usein, ja luku, kuten 10! on yli kolme miljoonaa, laskenta-ongelmat voivat tulla monimutkaisiksi erittäin nopeasti, jos yritämme luetella kaikki mahdollisuudet.

Joskus kun harkitsemme kaikkia mahdollisuuksia, joita laskenta-ongelmamme voivat hyödyntää, on helpompaa ajatella ongelman taustalla olevia periaatteita. Tämä strategia voi viedä paljon vähemmän aikaa kuin raa'an voiman yrittäminen luetella joukko yhdistelmiä tai permutaatioita.

Kysymys "Kuinka monella tapaa jotain voidaan tehdä?" on erilainen kysymys kuin "Millä tavoin jotakin voidaan tehdä?" Näemme tämän idean toimivana seuraavissa haasteellisissa laskentaongelmissa.

Seuraava kysymysryhmä sisältää sanan TRIANGLE. Huomaa, että kirjaimia on yhteensä kahdeksan. Olkoon ymmärrettävä, että sanan TRIANGLE vokaalit ovat AEI, ja sanan TRIANGLE konsonantit ovat LGNRT. Tutustu todellinen haaste, ennen kuin luet edelleen, tarkista versio näistä ongelmista ilman ratkaisuja.

Ongelmat

  1. Kuinka monella tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää?
    Ratkaisu: Täällä on yhteensä kahdeksan vaihtoehtoa ensimmäiselle kirjaimelle, seitsemän toiselle, kuusi kolmannelle ja niin edelleen. Kertolaskuperiaatteella kerrotaan yhteensä 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 eri tapaa.
  2. Kuinka monella tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos kolmen ensimmäisen kirjaimen on oltava RAN (täsmällisessä järjestyksessä)?
    Ratkaisu: Kolme ensimmäistä kirjainta on valittu meille, jättäen meille viisi kirjainta. RAN: n jälkeen meillä on viisi valintaa seuraavalle kirjeelle, jota seuraa neljä, sitten kolme, sitten kaksi ja sitten yksi. Kertolaskuperiaatteella on 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 tapaa järjestää kirjaimet määrätyllä tavalla.
  3. Kuinka monella tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos kolmen ensimmäisen kirjaimen on oltava RAN (missä järjestyksessä)?
    Ratkaisu: Tarkastele tätä kahden itsenäisenä tehtävänä: ensimmäinen järjestää RAN-kirjaimet ja toinen järjestävät muut viisi kirjainta. Niitä on 3! = 6 tapaa järjestää RAN ja 5! Tavat järjestää muut viisi kirjainta. Joten niitä on yhteensä 3! x 5! = 720 tapaa järjestää TRIANGLE-kirjaimet määritellyllä tavalla.
  4. Kuinka monella tapaa sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos kolmen ensimmäisen kirjaimen on oltava RAN (missä järjestyksessä) ja viimeisen kirjaimen on oltava vokaali?
    Ratkaisu: Tarkastellaan tätä kolmena tehtävänä: ensimmäinen asettaa RAN-kirjaimet, toinen valitsee yhden vokaalin I: stä ja E: stä ja kolmas järjestää muut neljä kirjainta. Niitä on 3! = 6 tapaa järjestää RAN, 2 tapaa valita vokaali jäljellä olevista kirjaimista ja 4! Tavat järjestää muut neljä kirjainta. Joten niitä on yhteensä 3! X 2 x 4! = 288 tapaa järjestää TRIANGLE-kirjaimet määritellyllä tavalla.
  5. Kuinka monella tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos kolmen ensimmäisen kirjaimen on oltava RAN (missä järjestyksessä) ja seuraavien kolmen kirjaimen on oltava TRI (missä järjestyksessä)?
    Ratkaisu: Jälleen meillä on kolme tehtävää: ensimmäinen järjestää RAN-kirjaimet, toinen järjestää TRI-kirjaimet ja kolmas järjestää kaksi muuta kirjainta. Niitä on 3! = 6 tapaa järjestää RAN, 3! tapoja järjestää TRI ja kaksi tapaa järjestää muut kirjeet. Joten niitä on yhteensä 3! x 3! X 2 = 72 tapaa järjestää TRIANGLE-kirjaimet osoitetulla tavalla.
  6. Kuinka monella eri tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos IAE-vokaalien järjestystä ja sijoitusta ei voida muuttaa?
    Ratkaisu: Kolme vokaalia on pidettävä samassa järjestyksessä. Nyt on järjestettävä yhteensä viisi konsonania. Tämä voidaan tehdä viidessä! = 120 tapaa.
  7. Kuinka monella eri tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos IAE-vokaalien järjestystä ei voida muuttaa, vaikka niiden sijoittelu voi olla (IAETRNGL ja TRIANGEL ovat hyväksyttäviä, mutta EIATRNGL ja TRIENGLA eivät ole)?
    Ratkaisu: Tämä ajatellaan parhaiten kahdessa vaiheessa. Vaihe yksi on valita paikat, joissa vokaalit menevät. Tässä valitsemme kolme paikkaa kahdeksasta, ja järjestys, jolla tämän teemme, ei ole tärkeä. Tämä on yhdistelmä ja niitä on yhteensä C(8,3) = 56 tapaa suorittaa tämä vaihe. Loput viisi kirjainta voidaan järjestää viiteen! = 120 tapaa. Tämä antaa yhteensä 56 x 120 = 6720 järjestelyä.
  8. Kuinka monta eri tapaa sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos IAE-vokaalien järjestystä voidaan muuttaa, tosin niiden sijoittelu ei välttämättä ole?
    Ratkaisu: Tämä on todella sama asia kuin edellä numero 4, mutta eri kirjaimilla. Järjestämme kolme kirjainta kolmesta! = 6 tapaa ja muut viisi kirjainta viidessä! = 120 tapaa. Tämän järjestelyn kokonaismäärä on 6 x 120 = 720.
  9. Kuinka monta eri tapaa voidaan järjestää kuusi kirjainta sanasta TRIANGLE?
    Ratkaisu: Koska puhumme järjestelystä, tämä on permutaatio ja niitä on yhteensä P(8, 6) = 8! / 2! = 20 160 tapaa.
  10. Kuinka monta eri tapaa voidaan järjestää kuusi kirjainta sanasta TRIANGLE, jos vokaalien ja konsonanttien on oltava yhtä monta?
    Ratkaisu: On vain yksi tapa valita vokaalit, jotka aiomme sijoittaa. Konsonanttien valinta voidaan tehdä C(5, 3) = 10 tapaa. Sitten on 6! tapoja järjestää kuusi kirjainta. Kerro nämä luvut yhteen tuloksena 7200.
  11. Kuinka monta eri tapaa voidaan järjestää kuusi kirjainta sanasta TRIANGLE, jos vähintään yhden konsonanssin on oltava?
    Ratkaisu: Jokainen kuuden kirjaimen järjestely täyttää ehdot, joten niitä on P(8, 6) = 20 160 tapaa.
  12. Kuinka monta eri tapaa voidaan järjestää kuusi kirjainta sanasta TRIANGLE, jos vokaalien on vuorotella konsonanttien kanssa?
    Ratkaisu: Mahdollisuuksia on kaksi, ensimmäinen kirjain on vokaali tai ensimmäinen kirjain on konsonani. Jos ensimmäinen kirjain on vokaali, meillä on kolme vaihtoehtoa, jota seuraa viisi konsonantilla, kaksi toisella vokaalilla, neljä toisella konsonantilla, yksi viimeisellä vokaalilla ja kolme viimeisellä konsonantilla. Kertomme tämän saadaksesi 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Symmetriargumenteilla on sama määrä järjestelyjä, jotka alkavat konsonantilla. Tämä antaa yhteensä 720 järjestelyä.
  13. Kuinka monta erilaista neljä kirjainta voidaan muodostaa sanasta TRIANGLE?
    Ratkaisu: Koska puhumme sarjasta neljä kirjainta yhteensä kahdeksasta, järjestys ei ole tärkeä. Meidän on laskettava yhdistelmä C(8, 4) = 70.
  14. Kuinka monta erilaista neljän kirjaimen joukkoa voidaan muodostaa sanasta TRIANGLE, jossa on kaksi vokaalia ja kaksi konsonania?
    Ratkaisu: Tässä me muotoilemme sarjamme kahdessa vaiheessa. Siellä on C(3, 2) = 3 tapaa valita kaksi vokaalia yhteensä 3: sta C(5, 2) = 10 tapaa valita konsonantit viidestä saatavilla olevasta. Tämä antaa yhteensä 3x10 = 30 sarjaa mahdollista.
  15. Kuinka monta erilaista sarjaa neljästä kirjaimesta voidaan muodostaa sanasta TRIANGLE, jos haluamme ainakin yhden vokaalin?
    Ratkaisu: Tämä voidaan laskea seuraavasti:
  • Neljä sarjaa yhdellä vokaalilla on C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
  • Neljä sarjaa, joissa on kaksi vokaalia, on C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
  • Neljä sarjaa kolmella vokaalilla on C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Tämä antaa yhteensä 65 erilaista sarjaa. Vaihtoehtoisesti voimme laskea, että on 70 tapaa muodostaa joukko neljästä kirjaimesta ja vähentää C(5, 4) = 5 tapaa hankkia sarja ilman vokaalia.



Kommentit:

  1. Aragal

    Mielenkiintoinen variantti

  2. Ferragus

    Sorry, of course, kaneshna, but the diz is not so hot

  3. Culloden

    Incomparable topic, I like))))

  4. Mok

    the Riposte, the sign of the spirit :)

  5. Ini-Herit

    What a great topic



Kirjoittaa viestin